İçeriğe geç

SOYUT MATEMATİK

                                                      İKİLİ İŞLEM

G≠ø bir küme olsun. * : G×G =G           

                                      (a,b)→a*b fonksiyonuna G üzerinde bir ikili işlem denir.

ile gösterilir.

                     YARI GRUPLAR , MONOİDLER VE GRUPLAR

G≠ø bir küme ve *, G üzerinde bir ikili işlem olsun.

1.” a,b Î G için a*b Î G ( Kapalılık özelliği )                                                                        2.” a,b,cΠG için a*(b*c)=(a*b)*c (Birleşme özelliği (Assosyatiflik))                                      3. ” aÎG için a*e=a ve e*a=a olmak şartıyla$ e Î G vardır.(Birim eleman özelliği)

4. ” a ÎG için a*a–1=e ve a–1*a=e olmak şartıyla$ a–1ΠG vardır.(Ters eleman özelliği)

5. ” a,b Î G için a*b=b*a (Değişme özelliği (Kümülatiflik),(Abelyenlik))

          1.+2. özellikler sağlanıyorsa ; _a  Yarı Grup,

          1.+2.+3. özellikler sağlanıyorsa; _a  Monoid,

          1.+2.+3.+4. özellikler sağlanıyorsa; _a  Grup,

          1.+2.+(5.) özellikler sağlanıyorsa; _a  Değişmeli Yarı Grup,                                                                             

          1.+2.+3.+(5.) özellikler sağlanıyorsa; _a  Değişmeli Monoid,                                                              

          1.+2.+3.+4.+(5.) özellikler sağlanıyorsa; _a  Değişmeli Grup,

adı verilir.

                                  MERTEBE

G sonlu ise G’ nin eleman sayısına G’ nin mertebesi denir.

NOT: Birleşme ve Değişme özellikleri üst yapıdan alt yapıya geçer.                                           Yani A Ì B iken, B  değişme veya birleşme özelliğine sahipse A da aynı özelliğe sahiptir.

Yani;  ” a,b,cΠB için a(bc)=(ab)c oluyorsa B birleşme özelliğine sahiptir. → A da birleşmelidir.

” a,b Î G için ab=ba oluyorsa B değişme özelliğine sahiptir. → A da değişmelidir.

(A≠ø olmak şartıyla)

ÖRNEK:  Z tamsayılar işlemi üzerinde tanımlı + : Z×Z → Z ikili işlemini göz önüne alalım.

                            (a,b)→ a+b      

                 < Z,+> ne tür bir cebirsel yapıdır?

ÇÖZÜM:

    1.” a,b Î Z için a+b Î Z sağlanır. ( Kapalılık özelliği ) 

    2.” a,b,cΠZ için a+(b+c)=(a+b)+c sağlanır. (Birleşme özelliği(Assosyatiflik))                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              

    3. ” aΠZ için a+e=a ve e+a=a olmak şartıyla e=0 Î Z vardır.(Birim eleman özelliği)

   4. ” a Î Z için a+a–1=0 ve a–1+a=0 olmak şartıyla a–1=aÎZ vardır.(Ters eleman özelliği)

        → < Z,+> bir gruptur.

   5. ” a,b Î Z için a+b=b+a dır.(Değişme özelliği (Kümülatiflik),(Abelyenlik))

         → < Z,+> değişmeli bir gruptur.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir