İKİLİ İŞLEM
G≠ø bir küme olsun. * : G×G =G
(a,b)→a*b fonksiyonuna G üzerinde bir ikili işlem denir.
ile gösterilir.
YARI GRUPLAR , MONOİDLER VE GRUPLAR
G≠ø bir küme ve *, G üzerinde bir ikili işlem olsun.
1.” a,b Î G için a*b Î G ( Kapalılık özelliği ) 2.” a,b,cÎ G için a*(b*c)=(a*b)*c (Birleşme özelliği (Assosyatiflik)) 3. ” aÎG için a*e=a ve e*a=a olmak şartıyla$ e Î G vardır.(Birim eleman özelliği)
4. ” a ÎG için a*a–1=e ve a–1*a=e olmak şartıyla$ a–1Î G vardır.(Ters eleman özelliği)
5. ” a,b Î G için a*b=b*a (Değişme özelliği (Kümülatiflik),(Abelyenlik))
1.+2. özellikler sağlanıyorsa ; _a Yarı Grup,
1.+2.+3. özellikler sağlanıyorsa; _a Monoid,
1.+2.+3.+4. özellikler sağlanıyorsa; _a Grup,
1.+2.+(5.) özellikler sağlanıyorsa; _a Değişmeli Yarı Grup,
1.+2.+3.+(5.) özellikler sağlanıyorsa; _a Değişmeli Monoid,
1.+2.+3.+4.+(5.) özellikler sağlanıyorsa; _a Değişmeli Grup,
adı verilir.
MERTEBE
G sonlu ise G’ nin eleman sayısına G’ nin mertebesi denir.
NOT: Birleşme ve Değişme özellikleri üst yapıdan alt yapıya geçer. Yani A Ì B iken, B değişme veya birleşme özelliğine sahipse A da aynı özelliğe sahiptir.
Yani; ” a,b,cÎ B için a(bc)=(ab)c oluyorsa B birleşme özelliğine sahiptir. → A da birleşmelidir.
” a,b Î G için ab=ba oluyorsa B değişme özelliğine sahiptir. → A da değişmelidir.
(A≠ø olmak şartıyla)
ÖRNEK: Z tamsayılar işlemi üzerinde tanımlı + : Z×Z → Z ikili işlemini göz önüne alalım.
(a,b)→ a+b
< Z,+> ne tür bir cebirsel yapıdır?
ÇÖZÜM:
1.” a,b Î Z için a+b Î Z sağlanır. ( Kapalılık özelliği )
2.” a,b,cÎ Z için a+(b+c)=(a+b)+c sağlanır. (Birleşme özelliği(Assosyatiflik))
3. ” aÎ Z için a+e=a ve e+a=a olmak şartıyla e=0 Î Z vardır.(Birim eleman özelliği)
4. ” a Î Z için a+a–1=0 ve a–1+a=0 olmak şartıyla a–1=aÎZ vardır.(Ters eleman özelliği)
→ < Z,+> bir gruptur.
5. ” a,b Î Z için a+b=b+a dır.(Değişme özelliği (Kümülatiflik),(Abelyenlik))
→ < Z,+> değişmeli bir gruptur.
